静电场

电荷

电荷是物质的一种属性，分为正电荷和负电荷

电量表示电荷的多少或参加电磁相互作用的强弱：
$Q$ 或 $q$ ，单位是库仑 $C$ ，$1C=1A·s$

最小值：电子的电量 $e=-1.602\ast {10}^{-19}C$

电荷守恒定律：若系统内与外界无电荷交换，则系统内正、负电荷的代数和保持不变
带电：电荷分离或转移
电荷消失：电荷中和或转移

库仑定律

库仑的扭秤实验得到了静电学基本定理，即库仑定理。

库仑定律描述的是静止点电荷之间的规律，在 ${10}^{-17}$ 到 ${10}^7$ 米范围内都成立

$\overrightarrow{F}=k\frac{q_1{q}_2}{r^2}{\overrightarrow{r}}^0$

其中 ${\overrightarrow{r}}^0$ 是表示方向的单位矢量，$k$ 是比例系数

在国际单位制中
$k=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0},{\epsilon }_0=8.85\times {10}^{-12}\frac{C^2}{m^{2}N}$
${\epsilon }_0$ 是真空中的电容率/介电常数

静电力的叠加原理
总静电力 = 各静电力的矢量和

电荷连续分布的带电体：
$\overrightarrow{F}=\int \text{d}\overrightarrow{F}={\int }_Q\frac{q\text{d}Q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}{\overrightarrow{r}}^0$

电场及电场强度

库仑定律表明，两个静止电荷间存在相互作用力：电场力

电场和实物都属于物质，具有能量、质量、动量

电场对其内的任何电荷都有作用力，对移动电荷作功

静电场：由相对观察者静止，电量不随时间变化的电荷产生的电场

电场强度：用来描述电场力的大小，表示单位正电荷在某点所受的电场力
$\overrightarrow{E}=\frac{\overrightarrow{F}}{q_0}$ ，单位是牛顿/库仑（ $N/C$ ）或伏特/米（ $V/m$ ）

点电荷 $q$ 所激发的电场的电场强度分布：（非均匀、球对称的电场）
$\overrightarrow{E}=\frac{\overrightarrow{F}}{q_0}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}{\overrightarrow{r}}^0$

电场强度叠加原理
$\overrightarrow{E}=\int \frac{\mathrm{d}q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}{\overrightarrow{r}}^0$

电偶极子：一对等量异号点电荷
设其相距 $l$，场中点P到这对点电荷中心的距离 $r$ 远大于 $l$ ，点电荷电荷量分别为$-q,+q$
电偶极距：${\overrightarrow{p}}_e=q\overrightarrow{l}$

若A点和电偶极子共线

两点电荷在A点产生的电场强度：
$E=E_{+}-E_{-}=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0(r-\frac{l}{2}{)}^2}-\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0(r+\frac{l}{2}{)}^2}=\frac{q\cdot 2rl}{4\pi {\epsilon }_0(r^2-\frac{l^2}{4}{)}^2}$
而 $r>>l$
则 $E\approx \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{2ql}{r^3}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{2p_e}{r^3}$

若B点在电偶极子垂直平分线上

两点电荷在B点产生的电场强度：
$E=E_{+}\cos \alpha +E_{-}\cos \alpha =\frac{ql}{4\pi \epsilon (r^2+\frac{l^2}{4}{)}^{3/2}}$
而 $r>>l$
则 $E\approx \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{ql}{r^3}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{p_e}{r^3}$
$\overline{E}=-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{p_e}{r^3}$

带电体在外电场中所受的作用
$\overrightarrow{F}=q_0\overrightarrow{E}$
$\overrightarrow{F}=\int \mathrm{d}\overrightarrow{F}=\int \overrightarrow{E}\mathrm{d}q$

电场线与电通量

$E=\mathrm{d}N/\mathrm{d}{S}_{\perp }$
$\Rightarrow \mathrm{d}N=E\mathrm{d}{S}_{\perp }$
可以用电场强度 $E$ 表示电场线的单位条数

电通量 ${\mathrm{\Phi }}_e$：穿过电场中某一有向曲面的电场线条数
（标量，有正负之分）
${\mathrm{\Phi }}_e=ES\cos \theta =\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{S}$
${\mathrm{\Phi }}_e={\int }_S\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_e={\int }_S\overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}$

高斯定理

在真空中的任何静电场内，对于闭合曲面S有：
穿过S的电通量在数值上等于曲面内的电量代数和除以${\epsilon }_0$
${\mathrm{\Phi }}_e={\oint }_S\overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}=\frac{1}{{\epsilon }_0}\sum _{\mathrm{内}}{q}_i$

对于高斯面，仅面内的电荷对场强通量有贡献

静电场的环路定理

在静电场中移动电荷所做的功
点电荷：
$A=\frac{q{q}_0}{4\pi {\epsilon }_0}(\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_b})$

1. 电场力作功只与初末位置有关，与路径无关
2. 静电力是保守力，静电力是保守力场

静电场的安培环路定理
${\oint }_L\overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{l}=0$
故静电场是无旋场（旋度为0），电场线不能闭合

电势能

将电荷从a移到b：
电场力作功 $A_{ab}={\int }_a^b{q}_0\overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{l}=W_a-W_b$
电势能增量 $\mathrm{\Delta }W=W_b-W_a=-A_{a}b$

取势能零点 $W_b=0$
电势能 $W_a=A_{a^{\prime }{0}^{\prime }}={\int }_a^{{}^{\prime }{0}^{\prime }}{q}_0\overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{l}$

电势

$u_a=\frac{W_a}{q_0}={\int }_a^{{}^{\prime }{0}^{\prime }}\overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{l}$
单位：伏特（V）

电势差 $u_{ab}=u_a-u_b$

电子伏特 $1eV=1.6\times {10}^{-19}J$

电势叠加原理

点电荷的电势：（球对称）
若以无穷远处为参考点
$u_p={\int }_P^{\mathrm{\infty }}\overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{l}=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$
若以距离点电荷R处为参考点：
$u_p=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_R})$

多个点电荷：直接把单个的电势相加

带电体在外电场中的电势能 $W_P=q{u}_p$

等势面和电势梯度

相邻等势面之间电势差相等

等势面与电场线互相垂直，电场强度的方向指向电势降低的方向

电势与电场强度的关系

$\overrightarrow{E}=-\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}n}\overrightarrow{n}$
其中 $\overrightarrow{n}$ 是等势面法线方向，指向电势升高的方向
电场强度描述的就是该点电势沿该方向的变化率

$E_x=-\frac{\partial u}{\partial x},E_y=-\frac{\partial u}{\partial y},E_z=-\frac{\partial u}{\partial z}$
$\overrightarrow{E}=-\mathbf{grad}u=-\mathrm{\nabla }u$